Как можно вычислить прочность углеродной нанотрубки?

 

Возьмём одностенную нанотрубку типа «зиг-заг» (см. рис. 1). Закрепим невидимый конец трубки, а к другому её концу приложим растягивающую силу F.

 

Рисунок 1. Схематическое изображение углеродной нанотрубки. Синие отрезки прямых перечёркивают С - С связи, ориентированные вдоль оси трубки, а жёлтая стрелка показывает направление действия растягивающей силы F.

 

Пусть в нанотрубке атомы углерода образуют между собой одинаковые связи (С-С, s-связи) и углы между ними равны 120^о. Тогда при растяжении нанотрубки эти связи будут растягиваться одинаково. Однако разорваться нанотрубка может самым причудливым образом, зависящим, например, от того, какая С-С связь разорвётся первой.

 

Чтобы упростить расчёты, предположим, что растяжение разрывает только С-С связи, ориентированные вдоль оси трубки и расположенные в одной плоскости её поперечного сечения (линии разрыва обозначены синим на рис. 1).

 

Известно, что расстояние d между ближайшими атомами углерода в нанотрубке приблизительно равно d = 0,15 нм. Легко показать, что если диаметр трубки равен D, то количество N связей, ориентированных вдоль оси трубки равно:

При этом к каждой С-С связи приложена сила, равная F/N

 

Чему равна прочность одной С-С связи?

 

Найти прочность С-С связи можно из графика зависимости потенциальной энергии этой связи от расстояния между атомами (рис. 2).

 

 Рисунок 2. Зависимость потенциальной энергии моля (т.е. 6^.10²³) С-С связей от расстояния между ядрами.

 

Из графика на рис.2 следует, что потенциальная энергия связи достигает минимума, когда расстояние между ядрами атомов составляет 154 пм. Это и определяет расстояние, на котором находятся атомы углерода в нерастянутой нанотрубке.

 

Тангенс наклона касательной правой ветви кривой на рис.2 пропорционален силе F₁, необходимой для того, чтобы удерживать атомы на данном расстоянии r :

где N_A – число Авогадро, 6^.10²³ моль^-1.

 

Чтобы увеличить расстояние между атомами углерода надо приложить силу F₁, и если эта сила будет больше максимального тангенса угла наклона (см. синий пунктир на рис. 2), то С-С связь порвётся. Поэтому связь порвётся при

 

Чему равна прочность одностенной нанотрубки?

 

Нанотрубка разорвётся, когда сила F, растягивающая трубку станет больше 3,8^.N нН, где N - число параллельных оси C-C связей в одном поперечном сечении трубки. Пусть диаметр нанотрубки D = 1,5 нм. Тогда из (1) следует, что N = 18. Поэтому нанотрубка разорвётся при F_max > 69 нН.

 

Чтобы вычислить прочность s_max нанотрубки, разделим F_max на площадь поперечного сечения S = pD²/4 :

 

 

Значение, полученное нами, довольно близко к максимальным экспериментально полученным величинам (63 ГПа) и, как и следовало ожидать, гораздо больше прочности самых прочных сортов стали (0,8 ГПа).

 

Отметим, что у многостенных нанотрубок прочность будет в несколько раз выше!